如圖，PA⊥平面ABCD，ABCD為正方形，，且PA=AD=2，E、F、G分別是線(xiàn)段PA、PD、CD的中點(diǎn)．
（1）求證：面EFG⊥面PAB；
（2）求異面直線(xiàn)EG與BD所成的角的余弦值；
（3）求點(diǎn)A到面EFG的距離．
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
P（0，0，2），E（0，0，1），F(xiàn)（0，1，1），G（1，2，0）．
（1）證明：∵
EF
=（0，1，0），
AP
=（0，0，2），
AB
=（2，0，0），
∴
EF
•
AP
=0×0+1×0+0×2=0，
EF
•
AB
=0×2+1×0+0×0=0，
∴EF⊥AP，EF⊥AB．
又∵AP、AB?面PAB，且PA∩AB=A，
∴EF⊥平面PAB．
又EF?面EFG，∴平面EFG⊥平面PAB．
（2）∵
EG
=(1，2，-1)，
BD
=(-2，2，0)，
∴cos＜
EG
，
BD
＞=
EG
•
BD
|
EG
|•|
BD
|
=
-2+4
6
•2
2
=
3
6
，
（3）設(shè)平面EFC的法向量
n
=（x，y，z），
則
n
•
EF
=(x，y，z)•(0，1，0)=0
n
•
EG
=(x，y，z)•(1，2，-1)=0
∴
y=0
x+2y-z=0

令z=0，得
n
=（1，0，1）．
又
AE
=（0，0，1），
∴點(diǎn)A到平現(xiàn)EFG的距離d=|
AE
•
n
|
n
|
|=|
1
2
|=
2
2
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于O，AB=4，AD=3．沿AC把△ACD折起，使二面角D1-AC-B為直二面角．
（1）求直線(xiàn)AD1與直線(xiàn)DC所成角的余弦值；
（2）求二面角A-DD1-C的平面角正弦值大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

[理]如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1D1的中點(diǎn)，H為平面EDB內(nèi)一點(diǎn)，
HC1
={2m，-2m，-m}(m＜0)
（1）證明HC1⊥平面EDB；
（2）求BC1與平面EDB所成的角；
（3）若正方體的棱長(zhǎng)為a，求三棱錐A-EDB的體積．
[文]若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=
1
(n+1)2
(n∈N+)，記f（n）=（1-a1）（1-a2）…（1-an）．
（1）計(jì)算f（1），f（2），f（3）的值；
（2）由（1）推測(cè)f（n）的表達(dá)式；
（3）證明（2）中你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠ABC=
π
4
，PA⊥底面ABCD，PA=2，M為PA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)．AF⊥CD于F，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求出平面PCD的一個(gè)法向量并證明MN∥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角P-CD-A的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，點(diǎn)E、F、G分別是DD1、AB、CC1的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)A1E與GF所成角的余弦值是（　�。�
A．
15
5
B．
2
2
C．
10
5
D．0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2．E、F分別是線(xiàn)段AB、BC上的點(diǎn)，且EB=FB=1．
（ I）求二面角C-DE-C1的正切值；（ II）求直線(xiàn)EC1與FD1所成的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF=3．
（1）求證：AC⊥平面BDE；
（2）求直線(xiàn)AB與平面BEF所成的角的正弦值；
（3）線(xiàn)段BD上是否存在點(diǎn)M，使得AM∥平面BEF？若存在，試確定點(diǎn)M的位置；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

一個(gè)多面體的直觀圖及三視圖分別如圖1和圖2所示（其中正視圖和側(cè)視圖均為矩形，俯視圖是直角三角形），M、N分別是AB1、A1C1的中點(diǎn)，MN⊥AB1．


（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值并證明MN∥平面BCC1B1；
（Ⅱ）在上面結(jié)論下，求平面AB1C1與平面ABC所成銳二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

在中，D為AB邊上一點(diǎn)，，，則=（  ）
A．B．C．D．

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同步練習(xí)冊(cè)答案