【題目】已知橢圓Γ： =1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為（2 ，0），且橢圓Γ上一點(diǎn)M到其兩焦點(diǎn)F1 ， F2的距離之和為4 ．
（Ⅰ）求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=x+m（m∈R）與橢圓Γ交于不同兩點(diǎn)A，B，且|AB|=3 ．若點(diǎn)P（x0 ， 2）滿足| |=| |，求x0的值．

【答案】解：（Ⅰ）由已知2a=4 ，得a=2 ，又c=2 ． ∴b2=a2﹣c2=4．
∴橢圓Γ的方程為 ．
（Ⅱ）由 ，得4x2+6mx+3m2﹣12=0，①
∵直線l與橢圓Γ交于不同兩點(diǎn)A、B，
∴△=36m2﹣16（3m2﹣12）＞0，
解得m2＜16．
設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則x1 ， x2是方程①的兩根，
則 ， ．
∴|AB|= = = ．
又由|AB|=3 ，得﹣ ，解得m=±2
據(jù)題意知，點(diǎn)P為線段AB的中垂線與直線y=2的交點(diǎn)．
設(shè)AB的中點(diǎn)為E（x0 ， y0），則 =﹣ ， ，
當(dāng)m=2時(shí)，E（﹣ ），
∴此時(shí)，線段AB的中垂線方程為y﹣ =﹣（x+ ），即y=﹣x﹣1．
令y=2，得x0=﹣3．
當(dāng)m=﹣2時(shí)，E（ ），
∴此時(shí)，線段AB的中垂線方程為y+ =﹣（x﹣ ），即y=﹣x+1．
令y=2，得x0=﹣1．…（1分）
綜上所述，x0的值為﹣3或﹣1
【解析】（Ⅰ）由已知2a=4 ，c=2 ．由此能求出橢圓Γ的方程．（Ⅱ）由 ，得4x2+6mx+3m2﹣12=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、中垂線性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合已知條件能求出x0的值．

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