Question

【題目】已知函數f（x）= +lnx，其中a為常數，e為自然對數的底數．
（I）若a=1，求函數f（x）的單調區(qū)間；
（II）若函數f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調函數，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）若a=1時，f（x）=3x﹣2x2+lnx，定義域為（0，+∞） = （x＞0
令f'（x）＞0，得x∈（0，1），令f'（x）＜0，得x∈（1，+∞），
函數f（x）=3x﹣2x2+lnx單調增區(qū)間為（0，1），
函數f（x）=3x﹣2x2+lnx單調減區(qū)間為（1，+∞）．
（Ⅱ）. ，
若函數f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調函數，
即 在[1，2]
或 恒成立．
或
即 或 在[1，2]恒成立．
即 或
令 ，因函數h（x）在[1，2]上單調遞增．
所以 或 或 ，解得a＜0或 或a≥1
【解析】（I）由a=1得f（x）的解析式，求導，令f′（x）＞0，令f′（x）＜0分別得出x的取值范圍，即f（x）的單調區(qū)間；（II）由函數f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調函數，得f′（x）≥0或f′（x）≤0，分離出a，把右邊看為函數，得到函數的單調性得最值，得關于a的不等式，求解得a的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減才能得出正確答案．