Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+）（x∈R），且．
（1）求ω的最小正值及此時函數(shù)y=f（x）的表達式；
（2）將（1）中所得函數(shù)y=f（x）的圖象結(jié)果怎樣的變換可得的圖象；
（3）在（1）的前提下，設(shè)，，，，f（β）=-，
①求tanα的值；
②求cos2（α-β）-1的值．

Answer 1

解：（1）因為，所以，
于是ω•，即ω=1+12k（k∈Z），
故當k=0時，ω取得最小正值1．
此時．
（2）先將的圖象向右平移個單位得y=sinx的圖象；
再將所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）得y=sinx的圖象；
最后將所得圖象上各點的縱坐標縮小到原來的倍（橫坐標不變）得y=x的圖象．
（3）因為f（α）=，
所以．
因為，
所以α+．
于是．
①因為，
所以=．
②因為==，
所以cos2（α-β）-1=-2sin²（α-β）=-2×．
分析：（1）將x用代替，求出正弦為1的所有角，求出其中的最小值．
（2）據(jù)圖象的平移規(guī)律：左加右減；伸縮變換的規(guī)律：橫坐標變?yōu)樽宰兞縳的乘的數(shù)的倒數(shù)；若三角函數(shù)符號前乘的數(shù)為A，則縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍．
（3）利用三角函數(shù)的平方關(guān)系求出的余弦，利用商數(shù)關(guān)系求出的正切；由于
利用兩角和的正弦公式求出sin（α-β），再利用二倍角公式求出值．
點評：本題考查三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的同角三角函數(shù)的公式，三角函數(shù)的二倍角公式．
將未知的角用已知的角表示，從而將未知的三角函數(shù)用已知的三角函數(shù)表示．