Question

9．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{49}$+$\frac{{y}^{2}}{24}$=1的左、右焦點分別為F₁、F₂，點A在橢圓上，且|AF₂|=6，則△AF₁F₂的面積是24．

Answer 1

分析 根據橢圓方程求得離心率及右準線方程，根據橢圓的第二定義，求得A點橫坐標，代入橢圓方程求得縱坐標，根據三角形面積公式△AF₁F₂的面積是$\frac{1}{2}$•2c•|y_A，即可求得△AF₁F₂的面積．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{49}$+$\frac{{y}^{2}}{24}$=1，a=7，b=2$\sqrt{6}$，
c=$\sqrt{49-24}$=5，
由離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{7}$，
右準線方程為x=$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{49}{5}$，
|AF₂|=ed=e（$\frac{{a}^{2}}{c}$-x_A）=a-ex_A=6，
即為7-$\frac{5}{7}$x_A=6，可得x_A=$\frac{7}{5}$，
y_A=±$\sqrt{24（1-\frac{1}{25}）^{2}}$=±$\frac{24}{5}$，
則△AF₁F₂的面積是$\frac{1}{2}$•2c•|y_A|
=5•$\frac{24}{5}$=24．
故答案為：24．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，橢圓的第二定義的應用，三角形的面積公式，考查分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．