Question

如圖，圓錐的高PO=4，底面半徑OB=2，D為PO的中點，E為母線PB的中點，F(xiàn)為底面圓周上一點，滿足EF⊥DE．
（1）求異面直線EF與BD所成角的余弦值；
（2）求二面角O-DF-E的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，利用?=0，又=2，即可解得點F的坐標．利用異面直線EF與BD的方向向量的夾角即可得出所成角（銳角）的余弦值；
（2）利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角．
解答：解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，
則O（0，0，0），B（0，2，0），D（0，0，2），E（0，1，2），P（0，0，4），F(xiàn)（x，y，0）．
∴，，．
∵，∴=y-1=0，解得y=1．
又∵=2，，取x＞0，把y=1代入解得x=，∴，∴．
==．
∴異面直線EF與BD所成角（銳角）的余弦值為；
（2）設(shè)平面DEF的法向量為，
則得，令x₁=2，則，y₁=0，
∴．
設(shè)平面ODF的法向量為=（x₂，y₂，z₂），則，得，
令x₂=1，則，z₂=0．∴．
∴===．
∴sinθ==．
∴二面角O-DF-E的正弦值為．
點評：熟練掌握通過建立如圖所示的空間直角坐標系、利用異面直線的方向向量的夾角求得異面直線所成角、利用兩個平面的法向量的夾角得出二面角、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．