（2013•江蘇一模）如圖，圓錐的高PO=4，底面半徑OB=2，D為PO的中點(diǎn)，E為母線PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為底面圓周上一點(diǎn)，滿足EF⊥DE．
（1）求異面直線EF與BD所成角的余弦值；
（2）求二面角O-DF-E的正弦值．
分析：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用
DE
⊥
EF
?
DE
•
EF
=0，又|
OF
|=2，即可解得點(diǎn)F的坐標(biāo)．利用異面直線EF與BD的方向向量的夾角即可得出所成角（銳角）的余弦值；
（2）利用兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得出二面角．
解答：解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則O（0，0，0），B（0，2，0），D（0，0，2），E（0，1，2），P（0，0，4），F(xiàn)（x，y，0）．
∴
DE
=(0，1，0)，
EF
=(x，y-1，-2)，
BD
=(0，-2，2)．
∵
DE
⊥
EF
，∴
DE
•
EF
=y-1=0，解得y=1．
又∵|
OF
|=2，
x2+y2
=2，取x＞0，把y=1代入解得x=
3
，∴F(
3
，1，0)，∴
EF
=(
3
，0，-2)．
cos＜
BD
，
EF
＞=
BD
•
EF
|
BD
| |
EF
|
=
-4
8
×
7
=-
14
7
．
∴異面直線EF與BD所成角（銳角）的余弦值為
14
7
；
（2）設(shè)平面DEF的法向量為
n1
=(x1，y1，z1)，
則
n1
•
DE
=0
n1
•
EF
=0
得
y1=0
3
x1-2z1=0
，令x1=2，則z1=
3
，y1=0，
∴
n1
=(2，0，
3
)．
設(shè)平面ODF的法向量為
n2
=（x2，y2，z2），則
n2
•
OD
=0
n2
•
OF
=0
，得
2z2=0
3
x2+y2=0
，
令x2=1，則y2=-
3
，z2=0．∴
n2
=(1，-
3
，0)．
∴cos＜
n1
，
n2
＞=
n1
•
n2
|
n2
| |
n1
|
=
2
7
×
4
=
7
7
．
∴sinθ=
1-(
7
7
)2
=
42
7
．
∴二面角O-DF-E的正弦值為
42
7
．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握通過(guò)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系、利用異面直線的方向向量的夾角求得異面直線所成角、利用兩個(gè)平面的法向量的夾角得出二面角、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
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（2013•江蘇一模）已知cos(75°+α)=
1
3
，則cos（30°-2α）的值為
7
9
7
9
．

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（2013•江蘇一模）已知Sn，Tn分別是等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和，且
Sn
Tn
=
2n+1
4n-2
，（n∈N+）則
a10
b3+b18
+
a11
b6+b15
=
41
78
41
78
．

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3
+1
3
+1
．

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（2013•江蘇一模）若對(duì)于給定的正實(shí)數(shù)k，函數(shù)f(x)=
k
x
的圖象上總存在點(diǎn)C，使得以C為圓心，1為半徑的圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離為2，則k的取值范圍是
（0，
9
2
）
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9
2
）
．

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（2013•江蘇一模）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={1，2，3，5}，則?U（A∩B）=
{2，4，6}
{2，4，6}
．

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