Question

如圖，已知三棱錐O-ABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=2，OB=3，OC=4，E是OC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線BE與AC所成角的余弦值；
（2）求二面角A-BE-C的余弦值．

Answer 1

解：（I）以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OA分別為x，y，z軸
建立空間直角坐標(biāo)系．
則有A（0，0，2），B（3，0，0），C（0，4，0），E（0，2，0）．
所以，cos＜＞=．（3分）
由于異面直線BE與AC所成的角是銳角，
所以，異面直線BE與AC所成角的余弦值是．（4分）
（II），，
設(shè)平面ABE的法向量為n₁=（x，y，z），
則由，，得，
取n₁=（2，3，3），（6分）
又因為OA⊥面OBC
所以平面BEC的一個法向量為n₂=（0，0，1），
所以．（8分）
由于二面角A-BE-C的平面角是n₁與n₂的夾角的補(bǔ)角，
所以，二面角A-BE-C的余弦值是．（10分）
分析：（1）本題適合建立空間坐標(biāo)系得用向量法解決這個立體幾何問題，建立空間坐標(biāo)系，給出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出異面直線BE與AC的方向向量，利用夾角公式求異面直線BE與AC所成角的余弦值即可．
（2）分別同平面ABE的法向量為和平面BEC的一個法向量．再根據(jù)二面角A-BE-C的平面角是兩個法向量n₁與n₂的夾角的補(bǔ)角，利用夾角公式求法向量所成角的余弦值即可．
點(diǎn)評：考查用空間向量為工具解決立體幾何問題，此類題關(guān)鍵是找清楚線的方向向量、面的法向量以及這些向量內(nèi)積等與立體幾何中線面、面面位置關(guān)系的對應(yīng)．