Question

已知f（x）=lnx-ax²-bx。
（Ⅰ）若a=-1，函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求b的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=1，b=-1時(shí)，證明：函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)；
（Ⅲ）若f（x）的圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，AB中點(diǎn)為C（x₀，0），求證：f'（x₀）＜0。

Answer 1

解：（1）依題意：f（x）=lnx+x²-bx
∵f（x）在（0，+∞）上遞增
∴對x∈（0，+∞）恒成立
即，對x∈（0，+∞）恒成立
∴只需
∵x＞0
∴
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”
∴
∴b的取值范圍為。
（2）當(dāng)a=1，b=-1時(shí)，f（x）=lnx-x²+x，其定義域是（0，+∞），
∴

∵x>0，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）>0
當(dāng)x>1時(shí)，f'（x）＜0
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值，
其值為f（1）=ln1-1²+1=0，
當(dāng)x≠1時(shí)，f（x）＜f（1），即f（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)。
（3）由已知得
兩式相減得=a（x₁+x₂）（x₁-x₂）+b（x₁-x₂）（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]
由及2x₀=x₁+x₂得




令，
∵
∴φ（t）在（0，1）上遞減，
∴φ（t）>φ（1）=0，
∵x₁＜x₂，
∴f'（x₀）＜0。