已知函數(shù)f(x)=x-
2x
+a(2-lnx)，(a＞0)，討論f（x）的單調(diào)性．
分析：先求出函數(shù)的定義域，然后求出導函數(shù)f′(x)=1+
2
x2
-
a
x
=
x2-ax+2
x2
，設g（x）=x2-ax+2，二次方程g（x）=0的判別式△=a2-8，然后討論△的正負，再進一步考慮導函數(shù)的符號，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
解答：解：f（x）的定義域是（0，+∞），f′(x)=1+
2
x2
-
a
x
=
x2-ax+2
x2
．
設g（x）=x2-ax+2，二次方程g（x）=0的判別式△=a2-8．
①當△=a2-8＜0，即0＜a＜2
2
時，對一切x＞0都有f′（x）＞0，此時f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
②當△=a2-8=0，即a=2
2
時，僅對x=
2
有f′（x）=0，對其余的x＞0都有f′（x）＞0，此時f（x）在（0，+∞）上也是增函數(shù)．
③當△=a2-8＞0，即a＞2
2
時，
方程g（x）=0有兩個不同的實根x1=
a-
a2-8
2
，x2=
a+
a2-8
2
，0＜x1＜x2．
x （0，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞）
f'（x） + 0 _ 0 +
f（x） 單調(diào)遞增↗ 極大 單調(diào)遞減↘ 極小 單調(diào)遞增
此時f（x）在(0，
a-
a2-8
2
)上單調(diào)遞增，在(
a-
a2-8
2
，
a+
a2-8
2
)是上單調(diào)遞減，在(
a+
a2-8
2
，+∞)上單調(diào)遞增．
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時考查了轉(zhuǎn)化的能力和分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：浙江省東陽中學高三10月階段性考試數(shù)學理科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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