點(diǎn)A、B分別是以雙曲線
x2
16
-
y2
20
=1
的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓C長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn),點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓C上,且位于x軸上方,
PA
PF
=0

(I)求橢圓C的方程;
(II)求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(III)設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn),點(diǎn)M到直線AP的距離等于|MB|,求橢圓上的點(diǎn)到M的距離d的最小值.
分析:(I)求出雙曲線
x2
16
-
y2
20
=1
的焦點(diǎn)、頂點(diǎn),得出橢圓的a,c,b即可求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.
(Ⅱ)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),由已知得
x2
36
+
y2
20
=1
(x+6)(x-4)+y2=0
解方程組可得點(diǎn)P的坐標(biāo)
(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)M是(m,0)于是
|m+6|
2
=|m-6|
,解出m=2,建立橢圓上的點(diǎn)到M的距離d的表達(dá)式,用函數(shù)知識(shí)求最值
解答:解(I)已知雙曲線實(shí)半軸a1=4,虛半軸b1=2
5
,半焦距c1=
16+20
=6
,
∴橢圓的長(zhǎng)半軸a2=c1=6,橢圓的半焦距c2=a1=4,橢圓的短半軸b2=
62-42
=
20

∴所求的橢圓方程為
x2
36
+
y2
20
=1

(II)由已知A(-6,0),F(xiàn)(4,0),
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則
AP
=(x+6,y),
FP
=(x-4,y)
,由已知得
x2
36
+
y2
20
=1
(x+6)(x-4)+y2=0

則2x2+9x-18=0,解之得x=
3
2
或x=-6

由于y>0,所以只能取x=
3
2
,于是y=
5
2
3
,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(
3
2
5
2
3
)
(9分)
(Ⅲ)直線AP:x-
3
y+6=0
,設(shè)點(diǎn)M是(m,0),則點(diǎn)M到直線AP的距離是
|m+6|
2
,于是
|m+6|
2
=|m-6|
,
又∵點(diǎn)M在橢圓的長(zhǎng)軸上,即-6≤m≤6∴m=2
∴當(dāng)m=2時(shí),橢圓上的點(diǎn)到M(2,0)的距離d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-
5x2
9
=
4
9
(x-
9
2
)2+15

又-6≤x≤6∴當(dāng)x=
9
2
時(shí),d取最小值
15
點(diǎn)評(píng):本題考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程、距離求解.考查函數(shù)知識(shí)、方程思想、計(jì)算能力.
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(1)求橢圓C的的方程;

(2)求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn),點(diǎn)M到直線AP的距離等于|MB|,求橢圓上的點(diǎn)到M的距離d的最小值。

 

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x2
16
-
y2
20
=1
的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓C長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn),點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓C上,且位于x軸上方,
PA
PF
=0

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(II)求點(diǎn)P的坐標(biāo);
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