Question

點(diǎn)A、B分別是以雙曲線

x2

16

-

y2

20

=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓C長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，且位于x軸上方，

PA

•

PF

=0
（I）求橢圓C的方程；
（II）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（III）設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到M的距離d的最小值．

Answer 1

分析：（I）求出雙曲線

x2

16

-

y2

20

=1的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)，得出橢圓的a，c，b即可求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由已知得

x2 36 + y2 20 =1 (x+6)(x-4)+y2=0

解方程組可得點(diǎn)P的坐標(biāo)
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)M是（m，0）于是

|m+6|

2

=|m-6|，解出m=2，建立橢圓上的點(diǎn)到M的距離d的表達(dá)式，用函數(shù)知識(shí)求最值

解答：解（I）已知雙曲線實(shí)半軸a₁=4，虛半軸b₁=2

5

，半焦距c₁=

16+20

=6，
∴橢圓的長(zhǎng)半軸a₂=c₁=6，橢圓的半焦距c₂=a₁=4，橢圓的短半軸b₂=

62-42

=

20

，
∴所求的橢圓方程為

x2

36

+

y2

20

=1
（II）由已知A（-6，0），F(xiàn)（4，0），
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則

AP

=(x+6，y)，

FP

=(x-4，y)，由已知得

x2 36 + y2 20 =1 (x+6)(x-4)+y2=0

則2x²+9x-18=0，解之得x=

3

2

或x=-6，
由于y＞0，所以只能取x=

3

2

，于是y=

5

2

3

，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

3

2

，

5

2

3

)（9分）
（Ⅲ）直線AP：x-

3

y+6=0，設(shè)點(diǎn)M是（m，0），則點(diǎn)M到直線AP的距離是

|m+6|

2

，于是

|m+6|

2

=|m-6|，
又∵點(diǎn)M在橢圓的長(zhǎng)軸上，即-6≤m≤6∴m=2
∴當(dāng)m=2時(shí)，橢圓上的點(diǎn)到M（2，0）的距離d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-

5x2

9

=

4

9

(x-

9

2

)2+15
又-6≤x≤6∴當(dāng)x=

9

2

時(shí)，d取最小值

15

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程、距離求解．考查函數(shù)知識(shí)、方程思想、計(jì)算能力．