Question

10．已知直線l的方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=m+t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=4$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）
（1）把曲線C的方程化為直角坐標方程，并說明曲線C的形狀；
（2）若曲線C上存在點P到直線l的距離為2$\sqrt{2}$，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和的余弦展開，兩邊同時乘以ρ后代入ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ得答案；
（2）化直線的參數(shù)方程為普通方程，畫出圖形，數(shù)形結合求得滿足條件的實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由ρ=4$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），得$ρ=4\sqrt{2}（cosθcos\frac{π}{4}-sinθsin\frac{π}{4}）$=4cosθ-4sinθ，
∴ρ²=4ρ（cosθ-sinθ），即x²+y²-4x+4y=0．
化為標準方程：（x-2）²+（y+2）²=8．
∴曲線C是以（2，-2）為圓心，以$2\sqrt{2}$為半徑的圓；
（2）化直線l的方程$\left\{\begin{array}{l}{x=m+t}\\{y=t}\end{array}\right.$為x-y-m=0．
若曲線C上存在點P到直線l的距離為2$\sqrt{2}$，
由圖可知，OA=6$\sqrt{2}$，OB=$2\sqrt{2}$，
∴直線x-y-m=0在y軸上截距的范圍為[-12，4]，
即-m∈[-12，4]，
∴m∈[-4，12]．

點評 本題考查極坐標方程化直角坐標方程，參數(shù)方程化普通方程，考查了數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．