Question

20．在三棱椎O-ABC中，OA=OB=OC=1，∠AOB=90°，OC⊥平面AOB，D為AB的中點，則OD與平面OBC的夾角為$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 以O(shè)為原點，以O(shè)A為x軸，OB為y軸，OC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出OD與平面OBC的夾角．

解答 解：以O(shè)為原點，以O(shè)A為x軸，OB為y軸，OC為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），
D（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），C（0，0，1），
由題意得OB⊥OA，OA⊥OC，
∴$\overrightarrow{OA}$是平面BOC的法向量，
設(shè)OD與平面OBC的夾角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OD}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OD}|}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OD}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$θ=\frac{π}{4}$．
∴OD與平面OBC的夾角為$\frac{π}{4}$．
故答案為：$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查直線與平面的夾角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．