Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinxcosx-cos²x-

1

2

，（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）單調(diào)增區(qū)間．
（3）若x∈[

π

4

，

π

2

]，求f（x）的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用倍角公式、兩角和差的正弦公式、周期公式即可得出；
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（3）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）f（x）=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x
=sin(2x-

π

6

)．
∴T=

2π

2

=π．
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），
解得-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，（k∈Z）．
∴f（x）單調(diào)增區(qū)間為[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]（k∈Z）．
（3）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴(2x-

π

6

)∈[

π

3

，

5π

6

]．
∴

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1，
∴f（x）的最大值為1，最小值為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了倍角公式、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．