正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，求A1B與B1D1間的距離．

答案：
解析：

解法一：將線線距離轉(zhuǎn)化為面面距離來(lái)求．

　　∵　A1B∥CD1，A1D∥B1C

　　∴　A1B∥平面D1B1C，A1D∥平面D1B1C

　　又A1BA1D=A1

　　∴　平面A1DB∥平面D1B1C

　　故平面A1DB與平面D1B1C間的距離即為A1B與B1D1間的距離

　　連結(jié)AC1，由三垂線定理知AC1⊥平面A1BD、AC1⊥平面D1B1C，垂足分別為O、O1．根據(jù)射影定理知O1、O分別為正△D1B1C和正△A1DB的中心，且B1C=CD1=B1D1=

　　∴　O1C1=OA=

　　又AC1=，∴　OO1=

　　∴　平面A1BD和平面D1B1C間的距離為，即A1B與B1D1間的距離為．

　　解法二：將線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離來(lái)求．

　　如圖9-46所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，

　　∵　D1B1∥DB，DB平面A1DB

　　∴　D1B1∥平面A1DB

　　∴　D1B1與A1B的距離即為直線D1B1到平面A1DB的距離

　　∵　正方體的對(duì)角面互相垂直

　　∴　過(guò)O1作O1H⊥平面A1DB，則H在A1O上

　　在Rt△A1O1O中，∠OO1A1=90°，O1H⊥A1O

　　∴　O1H·A1O=O1A1·O1O

　　∵　正方體的棱長(zhǎng)為1

　　∴　O1O=1，O1A1=，OA1=

　　∴　O1H=

　　即D1B1與A1B間的距離為．


練習(xí)冊(cè)系列答案
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正方體ABCD-A1B1C1D1的各頂點(diǎn)均在半徑為1的球面上，則四面體A1-ABC的體積等于
 
．

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如圖是從上下底面處在水平狀態(tài)下的棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中分離出來(lái)的：
（1）試判斷A1是否在平面B1CD內(nèi)；（回答是與否）
（2）求異面直線B1D1與C1D所成的角；
（3）如果用圖示中這樣一個(gè)裝置來(lái)盛水，那么最多可以盛多少體積的水．

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（1）求A1H與平面EFH所成角的正弦值；
（2）設(shè)點(diǎn)P在線段GH上，
GP
GH
=λ，試確定λ的值，使得二面角P-C1B1-A1的余弦值為
10
10
．

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如圖所示，在棱長(zhǎng)為2cm的正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1B1的中點(diǎn)是P，過(guò)點(diǎn)A1作出與截面PBC1平行的截面，簡(jiǎn)單證明截面形狀，并求該截面的面積．

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