Question

17．下列命題（i為虛數(shù)單位）中正確的是
①已知a，b∈R且a=b，則（a-b）+（a+b）i為純虛數(shù)；
②當(dāng)z是非零實(shí)數(shù)時，|z+$\frac{1}{z}$|≥2恒成立；
③復(fù)數(shù)z=（1-i）³的實(shí)部和虛部都是-2；
④如果|a+2i|＜|-2+i|，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是-1＜a＜1；
⑤復(fù)數(shù)z=1-i，則$\frac{1}{z}$+z=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$i．
其中正確的命題的序號是②③④．

Answer 1

分析 ①當(dāng)a=b=0時，（a-b）+（a+b）i=0不是純虛數(shù)；
②根據(jù)基本不等式的性質(zhì)知|z+$\frac{1}{z}$|≥2恒成立；
③化簡復(fù)數(shù)z，得z的實(shí)部和虛部都是-2；
④根據(jù)模長公式得關(guān)于a的不等式，求解即可；
⑤根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算法則，化簡計(jì)算即可．

解答 解：對于①，a，b∈R且a=b，若a=b=0時，則（a-b）+（a+b）i不是純虛數(shù)，①錯誤；
對于②，當(dāng)z是非零實(shí)數(shù)時，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)知|z+$\frac{1}{z}$|≥2恒成立，②正確；
對于③，復(fù)數(shù)z=（1-i）³=-2-2i，∴z的實(shí)部和虛部都是-2，③正確；
對于④，如果|a+2i|＜|-2+i|，則a²+4＜4+1，
解得-1＜a＜1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是-1＜a＜1，④正確；
對于⑤，復(fù)數(shù)z=1-i，則$\frac{1}{z}$+z=$\frac{1}{1-i}$+（1-i）=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$i，∴⑤錯誤．
綜上，正確的命題的序號是②③④．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評 本題考查了復(fù)數(shù)的概念與應(yīng)用問題，是綜合題．