Question

已知傾斜角為45°的直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A（1，-2）和點(diǎn)B，B在第一象限，．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)（a＞0）相交于E、F兩點(diǎn)，且線(xiàn)段EF的中點(diǎn)坐標(biāo)為（4，1），求a的值；
（3）對(duì)于平面上任一點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)Q在線(xiàn)段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，稱(chēng)|PQ|的最小值為P與線(xiàn)段AB的距離．已知點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，寫(xiě)出點(diǎn)P（t，0）到線(xiàn)段AB的距離h關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)直線(xiàn)AB方程為y=x-3，設(shè)點(diǎn)B（x，y），由及B在第一象限求解．
（2）先聯(lián)立直線(xiàn)方程與雙曲線(xiàn)方程，消元轉(zhuǎn)化為：，再由韋達(dá)定理求解．
（3）先設(shè)線(xiàn)段AB上任意一點(diǎn)Q坐標(biāo)為Q（x，x-3），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式建立二次函數(shù)模型，，
記（1≤t≤4），再根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間的相對(duì)位置，分類(lèi)討論求解．
解答：解：（1）直線(xiàn)AB方程為y=x-3，設(shè)點(diǎn)B（x，y），
由及x＞0，y＞0得x=4，y=1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1）．
（2）由得，
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則，得a=2．

（3）設(shè)線(xiàn)段AB上任意一點(diǎn)Q坐標(biāo)為Q（x，x-3），，
記（1≤t≤4），
當(dāng)時(shí)，即-1≤t≤5時(shí)，，
當(dāng)，即t＞5時(shí)，f（x）在[1，4]上單調(diào)遞減，；
當(dāng)，即t＜-1時(shí)，f（x）在[1，4]上單調(diào)遞增，．
綜上所述，
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，中點(diǎn)坐標(biāo)公式及兩點(diǎn)間的距離公式，同時(shí)考查了建立函數(shù)模型求最值的能力．