Question

5．已知橢圓的中心在原點，焦點為F₁（0，-2$\sqrt{2}$），F(xiàn)₂（0，2$\sqrt{2}$），且離心率e=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線l（與坐標軸不平行）與橢圓交于不同的兩點A、B，且線段AB中點的橫坐標為-$\frac{1}{2}$，求直線l斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的標準方程，由c，及離心率即可求得a值，則b²=a²-c²=1，即可求得橢圓方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理及中點坐標公式可知$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即可求得直線l斜率的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），由已知c=2$\sqrt{2}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
解得：a=3，則b²=a²-c²=1，
故所求方程為$\frac{{y}^{2}}{9}+{x}^{2}=1$；（6分）
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+t（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入橢圓方程$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{\frac{{y}^{2}}{9}+{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（k²+9）x²+2ktx+t²-9=0，
由韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{2kt}{{k}^{2}+9}$，
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{4{k}^{2}{t}^{2}-4（{k}^{2}+9）（{t}^{2}-9）＞0}\\{-\frac{2kt}{{k}^{2}+9}=-1}\end{array}\right.$，
解得：k＞$\sqrt{3}$或k＜-$\sqrt{3}$．
直線l斜率的取值范圍（-∞，-$\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，+∞）．（12分

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，中點坐標公式，考查計算能力，屬于中檔題．