Question

3．在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，邊DC（包含點D、C）的動點P與CB延長線上（包含點B）的動點Q滿足|$\overrightarrow{DP}$|=|$\overrightarrow{BQ}$|，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PQ}$的取值范圍是$[\frac{3}{4}，3]$．

Answer 1

分析 如圖所示，設P（x，1），Q（2，y）（0≤x≤2，-2≤y≤0）．由于|$\overrightarrow{DP}$|=|$\overrightarrow{BQ}$|，可得|x|=|y|，x=-y．可得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PQ}$=x²-2x-y+1=x²-x+1，再利用二次函數(shù)的單調性即可得出．

解答 解：如圖所示，
設P（x，1），Q（2，y）（0≤x≤2，-2≤y≤0）．
∵|$\overrightarrow{DP}$|=|$\overrightarrow{BQ}$|，
∴|x|=|y|，∴x=-y．
∵$\overrightarrow{PA}$=（-x，-1），$\overrightarrow{PQ}$=（2-x，y-1），
則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PQ}$=-x（2-x）-（y-1）
=x²-2x-y+1
=x²-x+1
=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{4}$=f（x），
∴當x=$\frac{1}{2}$時，則f（x）取得最小值$\frac{3}{4}$．
又f（0）=1，f（2）=3，
∴f（x）的最大值為3．
∴則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PQ}$的取值范圍是$[\frac{3}{4}，3]$．
故答案為：$[\frac{3}{4}，3]$．

點評 本題考查了向量的坐標運算、數(shù)量積運算性質、二次函數(shù)的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．