Question

已知圓C的圓心C為（-3，4），且與x軸相切．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若關(guān)于直線y=k（x-1）對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)M，N均在圓C上，且直線MN與圓x²+y²=2相切，試求直線MN的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓C與x軸相切，得到它的半徑r=4，由此即可寫(xiě)出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由圓的性質(zhì)得到直線y=k（x-1）經(jīng)過(guò)圓心C，將C的坐標(biāo)代入解出k=-1，進(jìn)而算出MN的斜率k'=

-1

k

=1．設(shè)直線MN的方程為y=x+b，根據(jù)MN與圓x²+y²=2相切利用點(diǎn)到直線的距離公式，建立關(guān)于b的等式，解出b=±2再加以檢驗(yàn)，即可得到所求直線MN的方程．

解答：解：（1）∵圓C的圓心C為（-3，4），且與x軸相切．
∴圓C的半徑r=4，可得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+3）²+（y-4）²=16．
（2）∵關(guān)于直線y=k（x-1）對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)M，N均在圓C上，
∴直線y=k（x-1）經(jīng)過(guò)圓心C（-3，4），
可得4=k（-3-1），解得k=-1．
由此可得直線MN的斜率k'=

-1

k

=1，設(shè)直線MN的方程為y=x+b，即x-y+b=0．
∵直線MN與圓x²+y²=2相切，
∴圓x²+y²=2的圓心O到直線MN的距離等于半徑，
即d=

|0-0+b|

2

=

|b|

2

=

2

，解之得b=±2，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)b=-2時(shí)直線MN的方程為y=x-2，與圓C沒(méi)有公共點(diǎn)，不符合題意．
∴b=-2舍去，即b=2，直線MN的方程為y=x+2．

點(diǎn)評(píng)：本題給出圓C滿(mǎn)足的條件，求圓C的方程并依此求直線MN的方程．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離公式和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．