【題目】已知橢圓的長軸是短軸的兩倍，以短軸一個頂點和長軸一個頂點為端點的線段作直徑的圓的周長等于，直線l與橢圓C交于兩點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點O作直線l的垂線，垂足為D.若，求動點D的軌跡方程.

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)由題意知，，即可求得橢圓方程；(2)先考慮直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合向量的垂直關(guān)系即可求得m，k的關(guān)系式，從而求得，再驗證斜率不存在時也滿足，則可求得點D的軌跡方程.

（1）由題意知，，解得，所以橢圓C的方程為

（2）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，

由消去y整理得，根據(jù)題設(shè)有：

且，.

∵，∴，即，

將，代入，化得，

把，代入整理得：，

∵，∴；

當(dāng)直線l的斜率不存在時，設(shè)，由得，.

∵，∴，解得，∴

所以動點D的軌跡是以原點O為圓心，半徑為的圓，方程為.

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【題目】如圖1，在等腰中，，，分別為，的中點，為的中點，在線段上，且。將沿折起，使點到的位置（如圖2所示），且。

（1）證明：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值

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【題目】某學(xué)校數(shù)學(xué)建模小組為了研究雙層玻璃窗戶中每層玻璃厚度（每層玻璃的厚度相同）及兩層玻璃間夾空氣層厚度對保溫效果的影響，利用熱傳導(dǎo)定律得到熱傳導(dǎo)量滿足關(guān)系式：，其中玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)焦耳/（厘米度），不流通、干燥空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)焦耳/（厘米度）， 為室內(nèi)外溫度差．值越小，保溫效果越好．現(xiàn)有4種型號的雙層玻璃窗戶，具體數(shù)據(jù)如下表：

型號

每層玻璃厚度

（單位：厘米）

玻璃間夾空氣層厚度

（單位：厘米）

A型

B型

C型

D型

則保溫效果最好的雙層玻璃的型號是________型．

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【題目】正方體的棱長為，點為棱的中點.下列結(jié)論:①線段上存在點，使得平面；②線段上存在點，使得平面；③平面把正方體分成兩部分，較小部分的體積為，其中所有正確的序號是（ ）

A.①B.③C.①③D.①②③

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【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，求證：當(dāng)時，；

（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】給出如下四個命題：①若“且”為假命題，則均為假命題；②命題“若，則”的否命題為“若，則”；③命題“，”的否定是“，”；④在中，“”是“”的充要條件.其中正確的命題是（ ）

A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖,在三棱柱中,平面為正三角形, 側(cè)面是邊長為的正方形,為的中點.

（1）求證平面;

（2）求二面角的余弦值;

（3）試判斷直線與平面的位置關(guān)系,并加以證明.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，，求的值域；

（2）當(dāng)時，求的最小值；

（3）是否存在實數(shù)、，同時滿足下列條件：① ；② 當(dāng)的定義域為時，其值域為．若存在，求出、的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}的首項a1＝1，an＋1＝ (n∈N*)．

(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.

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