Question

13．在直三棱柱ABC-A′B′C′中，所有的棱長都相等，M為B′C′的中點，N為A′B′的中點，則AM與BN所成角的余弦值為（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{5}}}{7}$
• B． $\frac{{\sqrt{35}}}{14}$
• C． $-\frac{{2\sqrt{5}}}{7}$
• D． $-\frac{{\sqrt{35}}}{14}$

Answer 1

分析 以A為原點，在平面ABC中，過A作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AA′為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出AM與BN所成角的余弦值．

解答 解：以A為原點，在平面ABC中，過A作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AA′為z軸，
建立空間直角坐標系，
設(shè)直三棱柱ABC-A′B′C′中，所有的棱長都為2，
則A（0，0，0），M（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，2），B（$\sqrt{3}$，1，0），N（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，2），
$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}，2$），$\overrightarrow{BN}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，2），
設(shè)AM與BN所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BN}|}{|\overrightarrow{AM}|•|\overrightarrow{BN}|}$=$\frac{|-\frac{3}{4}-\frac{3}{4}+4|}{\sqrt{7}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{35}}{14}$．
故選：B．

點評 本題考查線線角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．