Question

已知橢圓=1（a＞b＞c＞0，a²=b²+c²）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，若以F₂為圓心，b-c為半徑作圓F₂，過橢圓上一點(diǎn)P作此圓的切線，切點(diǎn)為T，且|PT|的最小值不小于（a-c）．
（1）證明：橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)F₂的最短距離為a-c；
（2）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（3）設(shè)橢圓的短半軸長為1，圓F₂與x軸的右交點(diǎn)為Q，過點(diǎn)Q作斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若OA⊥OB，求直線l被圓F₂截得的弦長s的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓上任一點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)Q點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離和橢圓的第二定義，求得x的范圍，進(jìn)而求得橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)F₂的最短距離
（2）可先表示出|PT|，進(jìn)而可知當(dāng)且僅當(dāng)|PF₂|取得最小值時|PT|取得最小值，根據(jù)≥（a-c）求得e的范圍．
（3）設(shè)直線的方程為y=k（x-1），與拋物線方程聯(lián)立方程組消去y得，根據(jù)韋達(dá)定理可求得x₁+x₂和x₁x₂，代入直線方程求得y₁y₂，根據(jù)OA⊥OB，可知=0，∴k=a，直線的方程為ax-y-a=0根據(jù)圓心F₂（c，0）到直線l的距離，進(jìn)而求得答案．
解答：解：（1）設(shè)橢圓上任一點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y），
Q點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為d=-x，
則由橢圓的第二定義知：=，
∴|QF₂|=a-，又-a≤x≤a，
∴當(dāng)x=a時，
∴|QF₂|_min=a-c．

（2）依題意設(shè)切線長|PT|=
∴當(dāng)且僅當(dāng)|PF₂|取得最小值時|PT|取得最小值，
∴≥（a-c），
∴0＜≤，從而解得≤e＜，
故離心率e的取值范圍是解得≤e＜，

（3）依題意Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），
則直線的方程為y=k（x-1），
與拋物線方程聯(lián)立方程組消去y得（a²k²+1）^_x2-2a²k2x+a²k²-a2=0
得，
設(shè)A（x₁，y₁）（x₂，y₂），則有x₁+x₂=，x₁x₂=，
代入直線方程得y₁y₂=，
x₁x₂=+y₁y₂=，又OA⊥OB，
∴=0，
∴k=a，
直線的方程為ax-y-a=0，
圓心F₂（c，0）到直線l的距離d=，
∴≤e＜•，∴≤c＜1，2c+1＜3，
∴s∈（0，），所以弦長s的最大值為．
點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．