Question

15．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的邊AD，BC的中點(diǎn)，AB=4，DC=6，$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{DC}$所成角是60°．
（1）若$\overrightarrow{EF}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{DC}$，求實(shí)數(shù)x，y的值；
（2）求線段EF的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量加法的幾何意義便可得到：$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}}&{①}\\{\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CF}}&{②}\end{array}\right.$，從而①+②便可得出$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$，從而根據(jù)平面向量基本定理得出$x=\frac{1}{2}，y=\frac{1}{2}$；
（2）要求線段EF的長(zhǎng)度，可以考慮求$|\overrightarrow{EF}|$，從而求${\overrightarrow{EF}}^{2}=（\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}）^{2}$，這樣進(jìn)行數(shù)量積的計(jì)算即可得出${\overrightarrow{EF}}^{2}$，從而得出$|\overrightarrow{EF}|$．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}}&{①}\\{\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CF}}&{②}\end{array}\right.$；
∵E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的邊AD，BC的中點(diǎn)；
∴$\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{0}，\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{0}$；
∴①+②得，$2\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$；
∴$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$；
∴$x=\frac{1}{2}，y=\frac{1}{2}$；
（2）AB=4，DC=6，$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{DC}$所成角為60°；
∴${\overrightarrow{EF}}^{2}=\frac{1}{4}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{DC}+\frac{1}{4}{\overrightarrow{DC}}^{2}$=4+6+9=19；
∴$|\overrightarrow{EF}|=\sqrt{19}$；
∴線段EF的長(zhǎng)度為$\sqrt{19}$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法的幾何意義，相反向量的概念，向量數(shù)乘的運(yùn)算，以及平面向量基本定理，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式．