Question

5．已知△ABC，角A，B，C的對邊分別為a，b，c且a²-c²=b（a-b）且c=$\sqrt{6}$
（1）求角C；   
（2）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）把已知的等式變形后，得到一個關系式，然后利用余弦定理表示出cosC，把變形后的關系式代入即可求出cosC的值，根據(jù)C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可得到C的度數(shù)；
（2）運用余弦定理可得c²=a²+b²-ab，運用基本不等式可得ab≤6，再由三角形的面積公式即可得到最大值．

解答 解：（1）因為a²-c²=b（a-b），即a²+b²-c²=ab，
則cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，又C∈（0°，180°），
所以∠C=60°．
（2）由余弦定理可得，c²=6=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab，
即有ab≤6，當且僅當a=b，取得等號．
則△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
當且僅當a=b=$\sqrt{6}$，取得最大值$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查余弦定理和三角形的面積公式的運用，考查運用基本不等式求最值的方法，屬于中檔題．