Question

有六根細(xì)木棒，其中較長的兩根分別為a、a，其余四根均為a，用它們搭成三棱錐，則其中兩條較長的棱所在的直線的夾角的余弦值為________．

Answer 1

或0
分析：當(dāng)較長的兩條棱所在直線相交時(shí)，不妨設(shè)AB=a，BC=a，AC=a，可得較長的兩條棱所在直線所成角為∠ABC，再由解三角形的有關(guān)知識(shí)得到答案．當(dāng)較長的兩條棱所在直線異面時(shí)，不妨設(shè)AB=a，CD=a，則BA=AC=BD=BC=a，取CD的中點(diǎn)為O，連接OA，OB，再由線面垂直的判定定理可得答案．
解答：解：當(dāng)較長的兩條棱所在直線相交時(shí)，如圖所示：
不妨設(shè)AB=a，BC=a，AC=a，
所以較長的兩條棱所在直線所成角為∠ABC，
由勾股定理可得：∠ACB=90°，所以cos∠ABC===，
所以此時(shí)較長的兩條棱所在直線所成角的余弦值為 ．
當(dāng)較長的兩條棱所在直線異面時(shí)，
不妨設(shè)AB=a，CD=a，則BC=AC=BD=AD=a，
取CD的中點(diǎn)為O，連接OA，OB，
所以CD⊥OA，CD⊥OB，
所以CD⊥平面ABO，所以CD⊥AB，
所以此時(shí)較長的兩條棱所在直線所成角的余弦值為cos90°=0．
故答案為：或0．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與直線的夾角問題，解決的方法是平移直線或者判定線面垂直，此題屬于中檔題，考查學(xué)生的空間想象能力與推理論證能力．