Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率，左頂點(diǎn)為，過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)，交軸于點(diǎn).

（1）求橢圓的方程;

（2）已知為的中點(diǎn)，存在定點(diǎn)，使得對(duì)于任意的都有，求點(diǎn)的坐標(biāo);

（3）若過點(diǎn)作直線的平行線交橢圓于點(diǎn)，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）由橢圓的離心率和左頂點(diǎn)，求出a，b，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）直線l的方程為y=k（x+4），與橢圓聯(lián)立，得，（x+4）[（4k2+3）x+16k2-12）]=0，由此利用韋達(dá)定理、直線垂直，結(jié)合題意能求出結(jié)果．（3）OM的方程可設(shè)為y=kx，與橢圓聯(lián)立得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由OM∥l，能求出結(jié)果

試題解析：（1）因?yàn)?/span>左頂點(diǎn)為，所以，又，所以.…………………2分

又因?yàn)?/span>，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為. ………………………………4分

（2）直線的方程為，由消元得，.

化簡(jiǎn)得，，

所以，. ………………………………6分

當(dāng)時(shí)，，

所以.因?yàn)?/span>點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以的坐標(biāo)為，則.……………………8分

直線的方程為，令，得點(diǎn)坐標(biāo)為，

假設(shè)存在定點(diǎn)，使得，

則，即恒成立，

所以恒成立，所以即

因此定點(diǎn)的坐標(biāo)為. ……………10分

（3）因?yàn)?/span>，所以的方程可設(shè)為，

由得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，…………………12分

由，得

…………………14分

，

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，

所以當(dāng)時(shí)，的最小值為． ………………16分