Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=2，∠ABC=45°．
（1）求點A 到平面 A₁BC的距離；
（2）求二面角A-A₁C-B的大小．

Answer 1

解：（1）∵AB=AC=2，∠ABC=45°，∴∠BAC=90°．
∴=．
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∴A₁A⊥AB，A₁A⊥AC．
∴．∴=．
設點A到平面距離為h，由=，∴，解得．
∴點A到平面距離為．
（2）設A₁C的中點為M，連接BM，AM．
∵BA₁=BC，AA₁=AC，∴BM⊥A₁C，AM⊥A₁C．
∴∠AMB是二面角A-A₁C-B的平面角．
∵，∴．
∴二面角A-A₁C-B的大小為．
分析：（1）利用三棱錐的體積計算公式和等積變形即可得出；
（2）利用直角三角形斜邊中線的性質和二面角的定義即可得出．
點評：熟練掌握三棱錐的體積計算公式、等積變形、直角三角形斜邊中線的性質和二面角的定義是解題的關鍵．