Question

已知拋物線y²=4x．
（1）若圓心在拋物線y²=4x上的動圓，大小隨位置而變化，但總是與直線x+1=0相切，求所有的圓都經過的定點坐標；
（2）拋物線y²=4x的焦點為F，若過F點的直線與拋物線相交于M，N兩點，若

FM

=-4

FN

，求直線MN的斜率；
（3）（理）若過x正半軸上Q（t，0）點的直線與該拋物線交于M，N兩點，P為拋物線上異于M，N的任意一點，記PM，QP，PN連線的斜率為k_PM，k_QP，k_PN，試求滿足k_PM，k_QP，k_PN成等差數列的充要條件．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）首先由拋物線的方程可得直線x=-1即為拋物線的準線方程，再結合拋物線的定義得到動圓一定過拋物線的焦點，進而得到答案；
（2）設AB方程是x=my+1代入到y(tǒng)²=4x，求出y₂=±1，故有m=±

3

4

，即可求直線MN的斜率；
（3）設直線MN的方程為x=ky+t，代入y²=4x，利用等差數列的性質，可得k(

y

2 0

+4t)=0，即可得出結論．

解答： 解：（1）設動圓的圓心到直線x+1=0的距離為r，
因為動圓圓心在拋物線y²=4x上，且拋物線的準線方程為x=-1，
所以動圓圓心到直線x=-1的距離與到焦點（1，0）的距離相等，
所以點（1，0）一定在動圓上，即動圓必過定點（1，0）．
（2）由題意得到F（1，0），則設AB方程是x=my+1代入到y(tǒng)²=4x，得y²-4my-4=0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4．
因為

FM

=-4

FN

，得到（x₁-1，y₁）=-4（x₂-1，y₂），
所以有y₁=-4y₂代入到上面得到y(tǒng)₂=±1，故有m=±

3

4

，
所以直線MN的斜率為±

4

3

；
（3）（理）設直線MN的方程為x=ky+t，代入y²=4x，得：y²-4ky-4t=0，
則y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4t，…（11分）
若kPM+kPN=2kPQ?

y0-y1

y 2 0 4 - y 2 1 4

+

y0-y2

y 2 0 4 - y 2 2 4

=

2y0

y 2 0 4 -t

?

1

y0+y1

+

1

y0+y2

=

2y0

y 2 0 -4t

，
即

2 y   0 +y1+y2

y 2 0 +(y1+y2)y0+y1y2

=

2y0

y 2 0 -4t

有

y   0 +2k

y 2 0 +4ky0-4t

=

y0

y 2 0 -4t

，即：(

y

0

+2k)(

y

2 0

-4t)=(

y

2 0

+4ky0-4t)y0
由此得：k(

y

2 0

+4t)=0，
因為

y

2 0

+4t＞0，所以k=0…（15分）
所以當直線MN的方程為x=t時，也就是k_PM+k_PN=2k_PQ成立的充要條件是直線MN與x軸相垂直．…（16分）

點評：本題考查拋物線的定義，以及拋物線的有關性質，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，正確聯立方程是關鍵．