Question

【題目】對于給定的正整數(shù)，若數(shù)列滿足對任意正整數(shù)總成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”.

(1)證明：等差數(shù)列是“數(shù)列”；

(2)若數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，證明： 是等差數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）因為是等差數(shù)列，設其公差為，則，只需證明，即可得到等差數(shù)列是“數(shù)列”；（2）數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，可得， ，結合兩式化為，其中，驗證前四項也是等差數(shù)列即可得結論.

試題解析： (1)因為是等差數(shù)列，設其公差為，

則，從而，當時，

所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an，

因此等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”.

(2)數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，因此，

當n≥3時，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，①

當n≥4時，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an.②

由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)，③

an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an).④

將③④代入②，得an－1＋an＋1＝2an，其中n≥4，

所以a3，a4，a5，…是等差數(shù)列，設其公差為d′.

在①中，取n＝4，則a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，

所以a2＝a3－d′，

在①中，取n＝3，則a1＋a2＋a4＋a5＝4a3，

所以a1＝a3－2d′，

所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列.