Question

16．過拋物線y=2x²的焦點(diǎn)F作傾斜角為120°的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則弦|AB|的長為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)F（0，$\frac{1}{8}$），用點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)解得一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合曲線的弦長的公式，可以求出線段AB的長度．

解答 解：根據(jù)拋物線y=2x²方程得：焦點(diǎn)坐標(biāo)F（0，$\frac{1}{8}$），
直線AB的斜率為k=tan120°=-$\sqrt{3}$，
由直線方程的點(diǎn)斜式方程，設(shè)AB：y-$\frac{1}{8}$=$-\sqrt{3}$x
將直線方程代入到拋物線方程當(dāng)中，得：2x²+$\sqrt{3}$x$-\frac{1}{8}$=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：x₁+x₂=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
x₁x₂=-$-\frac{1}{16}$．
y₁+y₂=$\frac{1}{4}$-$\sqrt{3}$（x₁+x₂）=$\frac{1}{4}+3$
弦長|AB|=$\sqrt{1+（-\sqrt{3}）^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2•$\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}$=2．
故選：A．

點(diǎn)評 本題以拋物線為載體，考查了圓錐曲線的弦長問題，屬于難題．本題運(yùn)用了直線方程與拋物線方程聯(lián)解的方法，對運(yùn)算的要求較高．利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式是解決本題的關(guān)鍵．