Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若，求證：.

Answer 1

【答案】（1）； （2）見解析

【解析】

（1）代入,可得的解析式.求得導(dǎo)函數(shù),即可得直線方程的斜率,求得點(diǎn)坐標(biāo)后,由點(diǎn)斜式即可求得切線方程.

（2）根據(jù)放縮法,由得.從而證明即可.構(gòu)造函數(shù),通過求得導(dǎo)函數(shù),再令,求得.即可判斷的單調(diào)性,進(jìn)而求得的零點(diǎn)所在區(qū)間,并判斷出該零點(diǎn)為的極小值點(diǎn),求得在該點(diǎn)的最小值,即證明不等式成立.

（1）當(dāng)時,

所以

所以,又因?yàn)?/span>,即點(diǎn)坐標(biāo)為

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為

即

（2）證明：當(dāng)時,,

要證明,需證明,

設(shè),則,

設(shè),則,

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,

因?yàn)?/span>,,

所以函數(shù)在上有唯一零點(diǎn),且,

因?yàn)?/span>,所以,即,

當(dāng)時,；當(dāng)時,,

所以當(dāng)時,取得最小值,

故,

綜上可知,若,.