Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x-3
（1）求函數(shù)y=f（|x|）的值域并寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間；
（2）討論函數(shù)y=|f（x）|與y=m+1交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求函數(shù)y=f（|x|）的值域并寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間；
（2）作出兩個(gè)函數(shù)的圖象即可討論函數(shù)y=|f（x）|與y=m+1交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答： 解：（1）當(dāng)x≥0時(shí)，f（|x|）=f（x）=x²+2x-3=（x+1）²-4
函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=-1，故函數(shù)在[0，+∞）上為增函數(shù)    （2分），
∴f（|x|）≥f（0）=-3，
∵f（|-x|）=f（|x|），
∴y=f（|x|）為偶函數(shù)
函數(shù)f（|x|）的值域?yàn)閇-3，+∞）（4分）
函數(shù)f（|x|）在（-∞，0]單調(diào)遞減，在[0，+∞）上為增函數(shù)   如圖（1）（6分）
（2）分別畫(huà)出函數(shù)y=f（|x|），y=m+1圖象，由圖象觀察可得圖（2）
當(dāng)m＜-1時(shí)，它們無(wú)交點(diǎn)，故交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0個(gè)；             （8分）
當(dāng)m=-1或m＞3時(shí)，它們有兩個(gè)交點(diǎn)，故交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)；  （10分）
當(dāng)-1＜m＜3時(shí)，它們有四個(gè)交點(diǎn)，故交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)    （12分）
當(dāng)m=3時(shí)它們有三個(gè)交點(diǎn)，故交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3            （14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．