Question

14．已知數列{a_n}的前兩項均為1，前n項和為S_n，若{2ⁿa_n}為等差數列，則S_n=$\frac{{2}^{n+1}-n-2}{{2}^{n-1}}$．．

Answer 1

分析 令b_n=2ⁿa_n，則b₁=2，b₂=4，所以數列{2ⁿa_n}是公差為2，首項為2的等差數列，2ⁿa_n=2+2（n-1）=2n⇒a_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，a₁=a₂=1滿足a_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，再用錯位相減法求和即可．

解答 解：令b_n=2ⁿa_n，則b₁=2，b₂=4，所以數列{2ⁿa_n}是公差為2，首項為2的等差數列，2ⁿa_n=2+2（n-1）=2n⇒a_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，a₁=a₂=1滿足a_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．
     S_n=$\frac{1}{{2}^{0}}+\frac{2}{{2}^{1}}+\frac{3}{{2}^{2}}+\\;…\\;+\frac{n}{{2}^{n-1}}$…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，…①
 $\frac{1}{2}$ S_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{n-1}{{2}^{n-1}}+\frac{n}{{2}^{n}}$…②
①-②得$\frac{1}{2}$ S_n=$\frac{1}{{2}^{0}}+\frac{1}{{2}^{1}}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}-\frac{n}{{2}^{n}}$=$2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）-\frac{n}{{2}^{n}}$⇒S_n=$\frac{{2}^{n+1}-n-2}{{2}^{n-1}}$．
故答案為：$\frac{{2}^{n+1}-n-2}{{2}^{n-1}}$．

點評 本題考查了求數列的通項及錯位相減法求和，屬于中檔題．