Question

已知⊙O的直徑為10，AB是⊙O的一條直徑，長為20的線段MN的中點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動（異于A、B兩點(diǎn)）．
（Ⅰ）求證：•與點(diǎn)P在⊙O上的位置無關(guān)；
（Ⅱ）當(dāng)與的夾角θ取何值時(shí)，•有最大值．

Answer 1

證明：（Ⅰ）∵AB為⊙O的直徑，P為圓上一點(diǎn)，∴AP⊥BP，
∴，則，
∵P為MN的中點(diǎn)，且=20，∴=，，
∴•=（+）（+）=（-）（+）
=•+•-•-•
=（-）-100=•-100，
∴•僅與•的夾角有關(guān)，而與點(diǎn)P在⊙O上的位置無關(guān)；
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
•=•-100=100cosθ-100，
∵0≤θ＜π，∴當(dāng)θ=0時(shí)，•取最大值為0．
分析：（Ⅰ）由AB為⊙O的直徑得，利用向量的加法和減法運(yùn)算來表示•，由向量數(shù)量積的運(yùn)算和條件進(jìn)行化簡；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）化簡的結(jié)果和向量夾角的范圍，求出夾角的余弦值的最大值代入，求出兩個(gè)向量數(shù)量積的最大值．
點(diǎn)評：本題考查了利用向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，進(jìn)行向量式子的求值和求解，主要根據(jù)圖形的特點(diǎn)和條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而利用條件和夾角的范圍求出式子的值．