Question

1．設(shè)f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，對(duì)定義域內(nèi)的任意x，y都滿(mǎn)足f（xy）=f（x）+f（y），且x＞1時(shí)，f（x）＞0．
（1）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性并證明；
（2）若f（2）=1，解不等式f（x）+f（x-3）≤2．

Answer 1

分析 （1）用定義法證明f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）求出f（4）=2，不等式f（x）+f（x-3）≤2轉(zhuǎn)化為f[x（x-3）]≤f（4）求解，注意定義域．

解答 解：（1）f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增．
證明：任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，$\frac{x_2}{{x{\;}_1}}＞1$
則$f（{x_2}）-f（{x_1}）=f（x{\;}_1•\frac{x_2}{x_1}）-f（x{\;}_1）=f（{x_1}）+f（\frac{x_2}{x_1}）-f（x{\;}_1）$=$f（\frac{x_2}{x_1}）$
∵x＞1時(shí)f（x）＞0∴$f（\frac{x_2}{x_1}）$＞0即f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增的．
（2）2=1+1=f（2）+f（2）=f（4），
  f（x）+f（x-3）=f[x（x-3）]，f（x）+f（x-3）≤2，
  即f[x（x-3）]≤f（4）∵f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增的，
∴$\left\{\begin{array}{l}x（x-3）≤4\\ x＞0\\ x-3＞0\end{array}\right.$⇒3＜x≤4，∴不等式f（x）+f（x-3）≤2的解集為{x|3＜x≤4}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了，抽象函數(shù)的單調(diào)性證明及函數(shù)不等式的解法，屬于中檔題．