Question

9．對(duì)任意的x∈（0，+∞），不等式（x-a+ln$\frac{x}{a}$）（-2x²+ax+10）≤0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a=$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 首先將條件轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的x∈（0，+∞），不等式[（x+lnx）-（a+lna）]（-2x²+ax+10）≤0恒成立，構(gòu)造函數(shù)f（x）=x+lnx，g（x）=-2x²+ax+10，由于f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故0＜x＜a時(shí)，（x+lnx）-（a+lna）＜0，則-2x²+ax+10≥0；x＞a時(shí)，（x+lnx）-（a+lna）＞0恒成立，則-2x²+ax+10≤0．再根據(jù)二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，即可求出a的范圍．

解答 解：∵對(duì)任意的x∈（0，+∞），不等式（x-a+ln$\frac{x}{a}$）（-2x²+ax+10）≤0恒成立，
∴對(duì)任意的x∈（0，+∞），不等式[（x+lnx）-（a+lna）]（-2x²+ax+10）≤0恒成立，
記f（x）=x+lnx，g（x）=-2x²+ax+10，則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增
①當(dāng)0＜x＜a時(shí)，f（x）＜f（a），即（x+lnx）-（a+lna）＜0恒成立，則-2x²+ax+10≥0
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（0）=10≥0}\\{g（a）=-{a}^{2}+10≥0}\end{array}\right.$，得0＜a≤$\sqrt{10}$；
②當(dāng)x=a時(shí)，不等式顯然恒成立；
③當(dāng)x＞a時(shí)，f（x）＞f（a），即（x+lnx）-（a+lna）＞0恒成立，則-2x²+ax+10≤0，
∵g（x）=-2（x-$\frac{a}{4}$）²+$\frac{{a}^{2}}{8}$+10在（a，+∞）上單調(diào)遞減，
∴x＞a時(shí)，g（x）＜g（a）=10-a²≤0，得a≤$\sqrt{10}$．
綜上可得，a=$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了恒成立問(wèn)題，轉(zhuǎn)化思想和分類討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)．