分析 (1)由an=Sn-1,得an+1=2an,(n≥2且n∈N*),由此能求出Sn.
(2)當n=1時,a1=5,當n≥2,且n∈N*時,${a}_{n}={a}_{2}•{2}^{n-2}$=5•2n-2.由此能求出數(shù)列{an}的通項公式.
(3)當n=1時,$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{5}<\frac{3}{5}$,成立,當n≥2且n∈N*時,$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{5}+\frac{1}{5}×(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}})$,由此能證明$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$<$\frac{3}{5}$.
解答 解:(1)由an=Sn-1,①,得:an+1=Sn,②
②-①得:an+1-an=Sn-Sn-1=an,
即an+1=2an,(n≥2且n∈N*),
∵a2=S1=a1=5,
故數(shù)列從第二項起,各項成等比數(shù)列且公比為2.
∴${S}_{n}={a}_{n+1}=5•{2}^{n-1}$,n∈N*.
(2)當n=1時,a1=5,
當n≥2,且n∈N*時,${a}_{n}={a}_{2}•{2}^{n-2}$=5•2n-2.
故數(shù)列{an}的通項公式為${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{5,n=1}\\{5•{2}^{n-2},n≥2,且n∈{N}^{*}}\end{array}\right.$.
證明:(3)當n=1時,$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{5}<\frac{3}{5}$,成立,
當n≥2且n∈N*時,$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5×2}+…+\frac{1}{5×{2}^{n-2}}$
=$\frac{1}{5}+\frac{1}{5}×(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}})$
=$\frac{1}{5}+\frac{1}{5}×\frac{1-(1-\frac{1}{{2}^{n}})}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{1}{5}+\frac{2}{5}(1-\frac{1}{{2}^{n}})$
<$\frac{1}{5}+\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$.
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$<$\frac{3}{5}$.
點評 本題考查數(shù)列的前n項和公式和通項公式的求法,考查不等式的證明,是中檔題,解題時要認真審題,注意放縮法的合理運用.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 若m∥n,m?β,則n∥β | B. | 若m∥α,α∩β=n,則m∥n | ||
C. | 若m⊥α,m⊥β,則α∥β | D. | 若m⊥β,α⊥β,則m∥α |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | -$\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | D. | -$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 20 | B. | 61 | C. | 183 | D. | 548 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | y=sin(2x+$\frac{π}{8}$) | B. | y=sin(2x+$\frac{3π}{8}$) | C. | y=cos2x | D. | y=sin2x |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 平行 | B. | 垂直 | C. | 相交 | D. | 重合 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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