Question

已知函數(shù)y=2cos²x-2acosx-（2a+1）
（1）求函數(shù)的最小值f（a）
（2）試確定滿足f(a)=

1

2

的a的值
（3）當(dāng)a取（2）中的值時(shí)，求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）令cosx=t，t∈[-1，1]，則y=2t²-2at-（2a+1），再進(jìn)行分類討論；
（2）由（1）知，分兩種情況討論：-4a+1=

1

2

或-

a2

2

-2a-1=

1

2

，應(yīng)注意a的范圍；（3）當(dāng)a=-1時(shí)，y=2t2+2t+1=2(t+

1

2

)2+

1

2

，故可求．

解答：解：（1）令cosx=t，t∈[-1，1]，則y=2t²-2at-（2a+1），對(duì)稱軸t=

a

2

…（2分）
當(dāng)

a

2

＜-1，即a＜-2時(shí)，[-1，1]是函數(shù)y的遞增區(qū)間，y_min=1
當(dāng)

a

2

＞1，即a＞2時(shí)，[-1，1]是函數(shù)y的遞減區(qū)間，y_min=-4a+1
當(dāng)-1≤

a

2

≤1，即-2≤a≤2時(shí)，ymin=-

a2

2

-2a-1…（6分）
（2）當(dāng)-4a+1=

1

2

，得a=

1

8

，與a＞2矛盾；
當(dāng)-

a2

2

-2a-1=

1

2

得a=-1，或a=-3，∴a=-1，
綜上，a=-1…（10分）
（3）當(dāng)a=-1時(shí)，y=2t2+2t+1=2(t+

1

2

)2+

1

2

因?yàn)閠∈[-1，1]
所以，當(dāng)t=1時(shí)，y取最大值，y_max=5 …12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的最值，應(yīng)注意把握區(qū)間與對(duì)稱軸之間的關(guān)系，做好分類討論．