Question

已知函數(shù)f（x）=xsinx+cosx，其導(dǎo)函數(shù)k=f'（x）的圖象大致為（　�。�

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

分析：由題可得f^′（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx令g（x）=xcosx可觀察出過（0，0）點(diǎn)下面只需利用導(dǎo)數(shù)判斷其在各段的單調(diào)性即可得出結(jié)果．

解答：解：∵f（x）=xsinx+cosx
∴f^′（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx
令g（x）=xcosx且g（0）=0
∴g（x）過（0，0）點(diǎn)
∵g^′（x）=cosx-xsinx
∴g^′′（x）=-2sinx-xcosx
∴當(dāng)x∈（-

π

2

，0)時g^′′（x）＞0故g^′（x）單調(diào)遞增
  則1=g′(0)＞g′(x)＞g′( -

π

2

)=-

π

2

  故存在a∈(-

π

2

，0)使得g^′（a）=0
  所以當(dāng)x∈(-

π

2

，a)時g^′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減
  當(dāng)x∈（a，0）時g^′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增
當(dāng)x∈（0，

π

2

）時g^′′（x）＜0故g^′（x）單調(diào)遞減
  則-

π

2

= g′(

π

2

) ＜g′(x)＜g′(0)=1
  故存在b∈（0，

π

2

）時使得g^′（b）=0
  所以當(dāng)x∈（0，b）時g^′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增
  當(dāng)x∈（b，

π

2

）時g^′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減
綜上：f^′（x）在（-

π

2

，a）單調(diào)遞減，在（a，b）單調(diào)遞增，在（b，

π

2

）單調(diào)遞減．結(jié)合圖象可知選B
故答案選B

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．此題關(guān)鍵是不易判斷出g^′（x）的正負(fù)因此采用再求導(dǎo)數(shù)即g^′′（x）=-2sinx-xcosx可判斷出x∈（-

π

2

，0)時g^′′（x）＞0故g^′（x）單調(diào)遞增進(jìn)而可得出g^′（x）的值有正有負(fù)再結(jié)合根的存在性定理可得出g^′（x）＞0的區(qū)間即g（x）的增區(qū)間和g^′（x）＜0的區(qū)間即減區(qū)間而x∈（0，

π

2

）的單調(diào)性可同理討論！