Question

已知函數(shù)f（x）定義在區(qū)間（-1，1）上，f（）=-1，且當x，y∈（-1，1）時，恒有f（x）-f（y）=f（），又數(shù)列{a_n}滿足a₁=，a_n+1=，設b_n=．
（1）證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)；
（2）求f（a_n）的表達式；
（3）是否存在正整數(shù)m，使得對任意n∈N，都有b_n＜成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）用賦值法：先x=y=0推f（0）=0，再令x=0推f（-y）=-f（y），即可證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)；
（2）先求出數(shù)列 {f（a_n）}的首項，再利用題中條件a_n+1=以及f（x）-f（y）=f（）求出f（a_n）與f（a_n+1）之間的遞推關系，即可求 f（a_n）的表達式；
（3）先利用（2）的結論求出b_n的表達式，再代入b_n＜利用函數(shù)的單調性求出最值即可求出m的最小值．
解答：解：（1）證明：令x=y=0，則f（0）=0，再令x=0，得f（0）-f（y）=f（-y），
∴f（-y）=-f（y），y∈（-1，1），
∴f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)．（3分）
（2）∵，
∴，
即
∴{f（a_n）}是以-1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴f（a_n）=-2^n-1．（7分）
（3）∵．
若恒成立（n∈N₊），則．
∵n∈N₊，∴當n=1時，有最大值4，故m＞4．
又∵m∈N，∴存在m=5，使得對任意n∈N₊，有．（14分）
點評：本題是對數(shù)列與函數(shù)的綜合考查，涉及到函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的最值，和數(shù)列的遞推關系式的應用，是一道有難度的題．用賦值法來判斷函數(shù)的奇偶性在作抽象函數(shù)的奇偶性判斷時是很常用的．