Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=2ⁿ+c，其中c為常數(shù)，則該數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列的充要條件是________．

Answer 1

c=-1
分析：當(dāng)n≥2時(shí)根據(jù)a_n=S_n-S_n-1，我們可以求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到數(shù)列的首項(xiàng)和公比，再由a₁=S₁，可以構(gòu)造關(guān)于c的方程，解方程即可得到c的值，進(jìn)而得到該數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列的充要條件．
解答：∵S_n=2ⁿ+c，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ+c）-（2^n-1+c）=2^n-1，
∴等比數(shù)列{a_n}的公比q=2，首項(xiàng)a₁=1
而當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2¹+c=1
故c=-1
故答案為：c=-1
點(diǎn)評(píng)：本題以等比數(shù)列為載體，考查充要條件的定義，等比關(guān)系的確定，其中根據(jù)a_n=S_n-S_n-1，求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，是解答本題的關(guān)鍵．