Question

17．（Ⅰ）求證：$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$＜2$\sqrt{5}$
（Ⅱ）若a，b，c是實數，求證：a²+b²+c²≥ab+bc+ca．

Answer 1

分析 （I）使用分析法證明；
（II）利用不等式的性質累加即可結論．

解答 證明：（Ⅰ）∵$\sqrt{3}+\sqrt{7}$和2$\sqrt{5}$都是正數，
故要證$\sqrt{3}+\sqrt{7}$$＜2\sqrt{5}$，
只要證   （$\sqrt{3}+\sqrt{7}$）²＜（2$\sqrt{5}$）²，
只需證：10+2$\sqrt{21}$＜20，
即證：$\sqrt{21}$＜5，
即證：21＜25，
因為21＜25顯然成立，
所以原不等式成立．
（II）∵a²+b²≥2ab，a²+c²≥2ac，b²+c²≥2bc，
∴2a²+2b²+2c²≥2ab+2ac+2bc，
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca．

點評 本題考查了不等式的證明方法，屬于基礎題．