Question

（2013•浙江模擬）如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=

1

2

CD=2，PA=2，E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：EF∥平面PAB；
（Ⅱ）求直線AC與平面ABEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，結(jié)合三角形中位線定理及平行公理，可得AB∥EF，進(jìn)而由線面平行的判定定理得到EF∥平面PAB；
（Ⅱ）取線段PA中點(diǎn)M，連接EM，則EM∥AC，故AC與平面ABEF所成角等于ME與平面ABEF所成角的大小，作MH⊥AF，垂足為H，連接EH，可證得∠MEH是ME與平面ABEF所成角，解Rt△EHM可得答案．

解答：證明：（I）∵E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)
∴EF∥CD
又∵AB∥CD，
∴AB∥EF，
又∵EF?平面PAB，AB?平面PAB；
∴EF∥平面PAB；
解：（Ⅱ）取線段PA中點(diǎn)M，連接EM，則EM∥AC
故AC與平面ABEF所成角等于ME與平面ABEF所成角的大小
作MH⊥AF，垂足為H，連接EH
∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AB
又∵AB⊥AD，PA∩AD=A
∴AB⊥平面PAD
∴EF⊥平面PAD
∵M(jìn)H?平面PAD
∴EF⊥MH
∴MH⊥平面ABEF
∴∠MEH是ME與平面ABEF所成角
在Rt△EHM中，EM=

1

2

AC=

5

，MH=

2

2

∴sin∠MEH=

MH

EM

=

10

10

∴AC與平面ABEF所成角的正弦為

10

10

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，線面所成角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理論證能力，其中（1）要熟練掌握線面平行的判定定理；（2）的關(guān)鍵是找出線面夾角的平面角．