Question

12．已知函數(shù)f（x）=4^x-2^x+1-b（b∈R）．
（1）若f（x）有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）當(dāng)f（x）有零點(diǎn)時(shí)，討論f（x）有零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并求出f（x）的零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=0，可得-b=2^x（2^x-2），運(yùn)用配方和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得右邊函數(shù)的范圍，即可得到b的范圍；
（2）分①當(dāng)b=-1 時(shí)，②當(dāng) 0＞b＞-1 時(shí)，③當(dāng)b≥0時(shí)，④當(dāng)b＜-1時(shí)四種情況，分別由條件求得2^x 的值，求得x的值，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）原函數(shù)有零點(diǎn)即方程4^x-2^x+1-b=0 有根．
化簡方程為b=4^x-2^x+1=2^2x-2•2^x=（2^x-1）²-1≥-1，
故當(dāng)b的范圍為[-1，+∞）時(shí)函數(shù)存在零點(diǎn)．
（2）①當(dāng)b=-1 時(shí)，2^x=1，∴方程有唯一解x=0．
②當(dāng) 0＞b＞-1 時(shí)，∵（2^x-1）²=1+b＞0，可得 2^x=1+$\sqrt{1+b}$，或2^x=1-$\sqrt{1+b}$，
解得 x=log₂（1+$\sqrt{1+b}$），或x=log₂（1-$\sqrt{1+b}$），故此時(shí)方程有2個(gè)解．
③當(dāng)b≥0時(shí)，∵（2^x-1）²=1+b＞1，可得 2^x=1+1+$\sqrt{1+b}$，或2^x═1-$\sqrt{1+b}$，（舍去），
解得 x=log₂（1+$\sqrt{1+b}$），故此時(shí)方程有唯一解．
④當(dāng)b＜-1時(shí)，∵（2^x-1）²=1+b＜0，2^x 無解，原方程無解．
綜上可得，當(dāng)-1＜b＜0時(shí)原方程有兩解：x=log₂（1+$\sqrt{1+b}$），或x=log₂（1-$\sqrt{1+b}$）；
當(dāng)b≥0 時(shí)，方程有唯一解x=log₂（1+$\sqrt{1+b}$），
當(dāng)b=-1 時(shí)，原方程有唯一解x=0；
當(dāng)b＜-1 時(shí)，原方程無解．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．