【題目】已知焦點在x軸上，中心在坐標原點的橢圓C的離心率為 ，且過點（ ，1）． （Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l分別切橢圓C與圓M：x2+y2=R2（其中3＜R＜5）于A、B兩點，求|AB|的最大值．

【答案】解：（Ⅰ）設橢圓的方程為 ，則 ， a， ∴ ，
∵橢圓過點 ，∴ ，解得 a2=25，b2=9，
故橢圓C的方程為
（Ⅱ）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）分別為直線l與橢圓和圓的切點，
直線AB的方程為y=kx+m，因為A既在橢圓上，又在直線AB上，
從而有 ，消去y得：（25k2+9）x2+50kmx+25（m2﹣9）=0，
由于直線與橢圓相切，
故△=（50kmx）2﹣4（25k2+9）×25（m2﹣9）=0，從而可得：m2=9+25k2 ， ①，x1= ，②
由 ．消去y得：（k2+1）x2+2kmx+m2﹣R2=0，
由于直線與圓相切，得m2=R2（1+k2），③，x2= ，④
由②④得：x2﹣x1= ，由①③得：k2= ，
∴|AB|2=（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2=（1+k2）（x2﹣x1）2
= =

即|AB|≤2，當且僅當R= 時取等號，所以|AB|的最大值為2
【解析】（Ⅰ）設出橢圓的方程，根據(jù)離心率及橢圓過點（ ，1）求出待定系數(shù)，即得橢圓的方程．（Ⅱ）用斜截式設出直線的方程，代入橢圓的方程，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系，化簡|AB|的解析式并利用基本不等式求出其最大值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解橢圓的標準方程(橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：)．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，他們所在的平面互相垂直，動點M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點，設異面直線EM與AF所成的角為θ，則cosθ的最大值為 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】函數(shù)y=f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x2﹣2x，函數(shù)f（x）與函數(shù)y=1的交點個數(shù)為（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，AB=5，cos∠ABC= ．
（1）若BC=4，求△ABC的面積S△ABC；
（2）若D是邊AC的中點，且BD= ，求邊BC的長．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線直線y=2x+1截得的弦長為 ，求拋物線的方程 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】直線l1經(jīng)過點A(m，1)，B(-3，4)，直線l2經(jīng)過點C(1，m)，D(-1，m+1)，當l1∥l2或l1⊥l2時，分別求實數(shù)m的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】圍建一個面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，已知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m，設利用的舊墻的長度為x（單位：m），修建此矩形場地圍墻的總費用為y（單位：元）． （Ⅰ）將y表示為x的函數(shù)：
（Ⅱ）試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)f（x）=lnx﹣ax，g（x）=ex﹣3ax，其中a為實數(shù)，若f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，則a的取值范圍是（ ）
A.（ ，+∞）
B.[ ，+∞）
C.（1，+∞）
D.[1，+∞）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)f（x）=﹣x3+ax2+bx+c的導數(shù)f'（x）滿足f'（﹣1）=0，f'（2）=9．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上的最大值為20，求c的值．
（3）若函數(shù)f（x）的圖象與x軸有三個交點，求c的范圍．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案