Question

4．已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₄-a₂=2，且a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${b_n}=\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}+\frac{{{a_{n-1}}}}{a_n}-2$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出等差數(shù)列的公差，由已知列式求得首項(xiàng)和公差，則{a_n}的通項(xiàng)公式可求；
（2）把{a_n}的通項(xiàng)公式代入${b_n}=\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}+\frac{{{a_{n-1}}}}{a_n}-2$，整理后利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列，得$\left\{{\begin{array}{l}{2d=2}\\{{a_3}^2={a_1}•{a_7}}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{d=1}\\{{{（{{a_1}+2d}）}^2}={a_1}•（{{a_1}+6d}）}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{d=1}\\{{a_1}=2}\end{array}}\right.$．
∴a_n=n+1；
（2）由（1）可知，${b_n}=\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}+\frac{{{a_{n-1}}}}{a_n}-2$=$\frac{n+1}{n}+\frac{n}{n+1}-2$
=$\frac{（n+1）^{2}+{n}^{2}-2{n}^{2}-2n}{n（n+1）}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴${S_n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．