Question

13．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}xlnx-3x，x＞0\\{x^2}+\frac{3}{2}x，x≤0\end{array}\right.$的圖象上有且只有四個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線y=-1的對(duì)稱點(diǎn)在直線y=kx-1上，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． $（{\frac{2}{7}，1}）$
• B． $（{\frac{1}{3}，3}）$
• C． $（{\frac{1}{2}，2}）$
• D． $（{2，\frac{7}{2}}）$

Answer 1

分析 令直線y=-kx-1與f（x）的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，作出f（x）的函數(shù)圖象，求出f（x）過(guò)點(diǎn)（0，-1）的切線方程，結(jié)合函數(shù)圖象即可得出k的范圍．

解答 解：直線y=kx-1關(guān)于直線y=-1的對(duì)稱直線是y=-kx-1，
則直線y=-kx-1與f（x）的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，
作出y=f（x）與直線y=-kx-1的函數(shù)圖象如圖所示：

設(shè)直線y=k₁x-1與y=x²+$\frac{3}{2}$x（x≤0）相切，切點(diǎn)為（x₁，y₁），
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}={k}_{1}{x}_{1}-1}\\{{y}_{1}={{x}_{1}}^{2}+\frac{3}{2}{x}_{1}}\\{2{x}_{1}+\frac{3}{2}={k}_{1}}\end{array}\right.$，解得x₁=-1，y₁=-$\frac{1}{2}$，k₁=-$\frac{1}{2}$，
設(shè)直線y=k₂x-1與y=xlnx-3x（x＞0）相切，切點(diǎn)為（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{2}={k}_{2}{x}_{2}-1}\\{{y}_{2}={x}_{2}ln{x}_{2}-3{x}_{2}}\\{{k}_{2}=ln{x}_{2}-2}\end{array}\right.$，解得x₂=1，y₂=-3，k₂=-2，
∴-2$＜-k＜-\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{2}＜k＜2$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程解與函數(shù)圖象的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．