Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{ax}$+lnx．
（1）若函數(shù)f（x）在[2，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[${\frac{1}{2}$，2]內(nèi)的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出${f}^{'}（x）=\frac{ax-1}{a{x}^{2}}$，a＞0，由題意當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，不等式${f}^{'}（x）=\frac{ax-1}{a{x}^{2}}$≥0，由此能求出正實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）當(dāng)a=1時(shí)，${f}^{'}（x）=\frac{x-1}{{x}^{2}}$，由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)得f（x）在[$\frac{1}{2}$，1）內(nèi)單調(diào)遞減，f（x）在（1，2]內(nèi)單調(diào)遞增，由此能求出函數(shù)f（x）在[${\frac{1}{2}$，2]內(nèi)的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{ax}$+lnx，
∴${f}^{'}（x）=\frac{ax-1}{a{x}^{2}}$，a＞0，
∵函數(shù)f（x）在[2，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
∴當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，不等式${f}^{'}（x）=\frac{ax-1}{a{x}^{2}}$≥0，即a$≥\frac{1}{x}$恒成立，
∵當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，$\frac{1}{x}$的最大值為$\frac{1}{2}$，
∴正實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{2}，+∞$）．
（2）當(dāng)a=1時(shí)，${f}^{'}（x）=\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
∴當(dāng)x∈[$\frac{1}{2}，1$），f′（x）＜0，∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，1）內(nèi)單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在（1，2]內(nèi)單調(diào)遞增，
又f（$\frac{1}{2}$）-f（2）=$\frac{3}{2}-2ln2$=$\frac{ln{e}^{3}-ln16}{2}$＞0，
∴f（$\frac{1}{2}$）＞f（2），
綜上所述，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{2}，2$]內(nèi)的最小值為f（1）=1，
當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{2}，2$]內(nèi)的最大值為f（$\frac{1}{2}$）=2-ln2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查函數(shù)f（x）在[${\frac{1}{2}$，2]內(nèi)的最大值和最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．