Question

18．數(shù)列a₁，a₂-a₁，a₃-a₂，…a_n-a_n-1是以1為首項、$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，則{a_n}的通項公式a_n=$\frac{3}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$．

Answer 1

分析 由數(shù)列a₁，a₂-a₁，a₃-a₂，…a_n-a_n-1是以1為首項、$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，可得a_n-a_n-1=$（\frac{1}{3}）^{n-1}$，再利用a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）即可得出．

解答 解：∵數(shù)列a₁，a₂-a₁，a₃-a₂，…a_n-a_n-1是以1為首項、$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，
∴a_n-a_n-1=$（\frac{1}{3}）^{n-1}$，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+$\frac{1}{3}$+$（\frac{1}{3}）^{2}$+…+$（\frac{1}{3}）^{n-1}$
=$\frac{1-（\frac{1}{3}）^{n}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$．
故答案為：$\frac{3}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．